Na matemática, uma categoria de Grothendieck é um certo tipo de categoria abeliana, introduzida no artigo Tôhoku de 1957 de Alexander Grothendieck a fim de desenvolver o maquinário da álgebra homológica para módulos e para feixes de maneira unificada. A teoria dessas categorias foi posteriormente desenvolvida na tese de Pierre Gabriel de 1962. A toda variedade algébrica

V

{\displaystyle V}

pode-se associar uma categoria de Grothendieck

Qcoh ⁡ ( V )

{\displaystyle \operatorname {Qcoh} (V)}

, consistindo nos feixes quase-coerentes sobre

V

{\displaystyle V}

. Esta categoria codifica todas as informações geométricas relevantes sobre

V

{\displaystyle V}

, e

V

{\displaystyle V}

pode ser recuperada a partir de

Qcoh ⁡ ( V )

{\displaystyle \operatorname {Qcoh} (V)}

(o teorema de reconstrução de Gabriel-Rosenberg). Este exemplo dá origem a uma abordagem para a geometria algébrica não comutativa: o estudo das "variedades não comutativas" nada mais é, então, do que o estudo de (certas) categorias de Grothendieck.

Definição Por definição, uma categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é uma categoria AB5 com um gerador. Explicando detalhadamente, isso significa que

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é uma categoria abeliana; toda família (possivelmente infinita) de objetos em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

possui um coproduto (também conhecido como soma direta) em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

; os limites diretos de sequências exatas curtas são exatos; isso significa que, se for dado um sistema direto de sequências exatas curtas em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

, então a sequência induzida de limites diretos também é uma sequência exata curta. (Limites diretos são sempre exatos à direita; o ponto importante aqui é que exigimos que eles também sejam exatos à esquerda.)

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

possui um gerador, ou seja, existe um objeto

G

{\displaystyle G}

em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

tal que

Hom ⁡ ( G , − )

{\displaystyle \operatorname {Hom} (G,-)}

é um functor fiel de

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

para a categoria dos conjuntos. (Na nossa situação, isso é equivalente a dizer que todo objeto

X

{\displaystyle X}

de

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

admite um epimorfismo

G

( I )

→ X

{\displaystyle G^{(I)}\rightarrow X}

, onde

G

( I )

{\displaystyle G^{(I)}}

denota uma soma direta de cópias de

G

{\displaystyle G}

, uma para cada elemento do conjunto (possivelmente infinito)

I

{\displaystyle I}

.) O nome "categoria de Grothendieck" não apareceu no artigo Tôhoku de Grothendieck nem na tese de Gabriel; ele passou a ser usado na segunda metade da década de 1960 no trabalho de vários autores, incluindo Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst e Bodo Pareigis. (Alguns autores usam uma definição diferente, que não exige a existência de um gerador.)

Exemplos O exemplo prototípico de uma categoria de Grothendieck é a categoria de grupos abelianos; o grupo abeliano

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} }

dos inteiros é um gerador. Mais genericamente, dado qualquer anel

R

{\displaystyle R}

(associativo, com

1

{\displaystyle 1}

, mas não necessariamente comutativo), a categoria

Mod ⁡ ( R )

{\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}

de todos os módulos à direita (ou, alternativamente, à esquerda) sobre

R

{\displaystyle R}

é uma categoria de Grothendieck; o próprio

R

{\displaystyle R}

é um gerador. Dado um espaço topológico

X

{\displaystyle X}

, a categoria de todos os feixes de grupos abelianos sobre

X

{\displaystyle X}

é uma categoria de Grothendieck. (Mais genericamente: a categoria de todos os feixes de

R

{\displaystyle R}

-módulos à direita sobre

X

{\displaystyle X}

é uma categoria de Grothendieck para qualquer anel

R

{\displaystyle R}

.) Dado um espaço anelado

( X ,

O

X

)

{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}

, a categoria de feixes de módulos OX é uma categoria de Grothendieck. Dada uma variedade algébrica (afim ou projetiva)

V

{\displaystyle V}

(ou mais genericamente: qualquer esquema ou pilha algébrica (algebraic stack)), a categoria

Qcoh ⁡ ( V )

{\displaystyle \operatorname {Qcoh} (V)}

de feixes quase-coerentes sobre

V

{\displaystyle V}

é uma categoria de Grothendieck. Dado um sítio pequeno (C, J) (ou seja, uma categoria pequena C juntamente com uma topologia de Grothendieck J), a categoria de todos os feixes de grupos abelianos no sítio é uma categoria de Grothendieck.

Construindo outras categorias de Grothendieck Qualquer categoria que seja equivalente a uma categoria de Grothendieck é em si uma categoria de Grothendieck. Dadas as categorias de Grothendieck

A

1

, ... ,

A

n

{\displaystyle {\mathcal {A_{1}}},\ldots ,{\mathcal {A_{n}}}}

, a categoria produto

A

1

× ... ×

A

n

{\displaystyle {\mathcal {A_{1}}}\times \ldots \times {\mathcal {A_{n}}}}

é uma categoria de Grothendieck. Dada uma categoria pequena

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

e uma categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

, a categoria de functores

Funct ⁡ (

C

,

A

)

{\displaystyle \operatorname {Funct} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})}

, consistindo em todos os functores covariantes de

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

para

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

, é uma categoria de Grothendieck. Dada uma categoria pré-aditiva pequena

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

e uma categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

, a categoria de functores

Add ⁡ (

C

,

A

)

{\displaystyle \operatorname {Add} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})}

de todos os functores covariantes aditivos de

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

para

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é uma categoria de Grothendieck. Se

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é uma categoria de Grothendieck e

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

é uma subcategoria localizante de

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

, então tanto

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

quanto a categoria quociente de Serre

A

/

C

{\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}

são categorias de Grothendieck.

Propriedades e teoremas Toda categoria de Grothendieck contém um cogerador injetivo. Por exemplo, um cogerador injetivo da categoria de grupos abelianos é o grupo quociente

Q

/

Z

{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }

. Todo objeto em uma categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

tem um envoltório injetivo em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

. Isso permite a construção de resoluções injetivas e, com isso, o uso das ferramentas da álgebra homológica em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

, a fim de definir functores derivados. (Note que nem todas as categorias de Grothendieck permitem resoluções projetivas para todos os objetos; exemplos incluem categorias de feixes de grupos abelianos em muitos espaços topológicos, como no espaço dos números reais.) Em uma categoria de Grothendieck, qualquer família de subobjetos

(

U

i

)

{\displaystyle (U_{i})}

de um dado objeto

X

{\displaystyle X}

possui um supremo (ou "soma")

∑

i

U

i

{\textstyle \sum _{i}U_{i}}

bem como um ínfimo (ou "interseção")

∩

i

U

i

{\displaystyle \cap _{i}U_{i}}

, ambos sendo novamente subobjetos de

X

{\displaystyle X}

. Além disso, se a família

(

U

i

)

{\displaystyle (U_{i})}

for direcionada (ou seja, para quaisquer dois objetos na família, existe um terceiro objeto na família que contém os dois), e

V

{\displaystyle V}

for outro subobjeto de

X

{\displaystyle X}

, teremos

∑

i

(

U

i

∩ V ) =

(

∑

i

U

i

)

∩ V .

{\displaystyle \sum _{i}(U_{i}\cap V)=\left(\sum _{i}U_{i}\right)\cap V.}

As categorias de Grothendieck são bem-potenciadas (às vezes chamadas de localmente pequenas, embora esse termo também seja usado para um conceito diferente), ou seja, a coleção de subobjetos de qualquer objeto dado forma um conjunto (em vez de uma classe própria). É um resultado bastante profundo que toda categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

seja completa, ou seja, que limites arbitrários (e, em particular, produtos) existam em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

. Em contrapartida, segue-se diretamente da definição que

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é cocompleta, ou seja, que colimites arbitrários e coprodutos (somas diretas) existem em

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

. Coprodutos em uma categoria de Grothendieck são exatos (ou seja, o coproduto de uma família de sequências exatas curtas é novamente uma sequência exata curta), mas os produtos não precisam ser exatos. Um functor

F :

A

→

X

{\displaystyle F\colon {\cal {A}}\to {\cal {X}}}

de uma categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

para uma categoria arbitrária

X

{\displaystyle {\mathcal {X}}}

possui um adjunto à esquerda se e somente se ele comuta com todos os limites, e possui um adjunto à direita se e somente se ele comuta com todos os colimites. Isto segue do teorema especial do functor adjunto de Peter Freyd e do seu dual. O teorema de Gabriel-Popescu afirma que qualquer categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é equivalente a uma subcategoria cheia da categoria

Mod ⁡ ( R )

{\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}

de módulos à direita sobre algum anel unitário

R

{\displaystyle R}

(que pode ser tomado como o anel de endomorfismos de um gerador de

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

), e

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

pode ser obtida como um quociente de Gabriel de

Mod ⁡ ( R )

{\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}

por alguma subcategoria localizante. Como consequência do teorema de Gabriel-Popescu, pode-se mostrar que toda categoria de Grothendieck é localmente apresentável. Além disso, Gabriel-Popescu pode ser usado para ver que toda categoria de Grothendieck é completa, sendo uma subcategoria reflexiva da categoria completa

Mod ⁡ ( R )

{\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}

para algum

R

{\displaystyle R}

. Toda categoria abeliana pequena

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

pode ser mergulhada em uma categoria de Grothendieck da seguinte maneira. A categoria

A

:= Lex ⁡ (

C

o p

,

A b

)

{\displaystyle {\mathcal {A}}:=\operatorname {Lex} ({\mathcal {C}}^{op},\mathrm {Ab} )}

de functores aditivos (covariantes) exatos à esquerda

C

o p

→

A b

{\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathrm {Ab} }

(onde

A b

{\displaystyle \mathrm {Ab} }

denota a categoria de grupos abelianos) é uma categoria de Grothendieck, e o functor

h :

C

→

A

{\displaystyle h\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}

, com

C ↦

h

C

= Hom ⁡ ( − , C )

{\displaystyle C\mapsto h_{C}=\operatorname {Hom} (-,C)}

, é pleno, fiel e exato. Um gerador de

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é dado pelo coproduto de todos os

h

C

{\displaystyle h_{C}}

, com

C ∈

C

{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}

. A categoria

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

é equivalente à categoria

Ind

(

C

)

{\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}

de ind-objetos de

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

e o mergulho

h

{\displaystyle h}

corresponde ao mergulho natural

C

→

Ind

(

C

)

{\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}

. Podemos, portanto, ver

A

{\displaystyle {\mathcal {A}}}

como o co-completamento de

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

.

Tipos especiais de objetos e categorias de Grothendieck Um objeto

X

{\displaystyle X}

em uma categoria de Grothendieck é chamado de finitamente gerado se, sempre que

X

{\displaystyle X}

for escrito como a soma de uma família de subobjetos de

X

{\displaystyle X}

, ele já for a soma de uma subfamília finita. (No caso

A

= Mod ⁡ ( R )

{\displaystyle {\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)}

de categorias de módulos, essa noção é equivalente à noção familiar de módulos finitamente gerados.) Imagens epimórficas de objetos finitamente gerados são novamente finitamente geradas. Se

U ⊆ X

{\displaystyle U\subseteq X}

e tanto

U

{\displaystyle U}

quanto

X

/

U

{\displaystyle X/U}

forem finitamente gerados, então

X

{\displaystyle X}

também será. O objeto

X

{\displaystyle X}

é finitamente gerado se, e somente se, para qualquer sistema direcionado

(

A

i

)

{\displaystyle (A_{i})}

em

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

no qual cada morfismo é um monomorfismo, o morfismo natural

lim →

⁡

H o m

( X ,

A

i

) →

H o m

( X ,

lim →

⁡

A

i

)

{\displaystyle \varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})}

for um isomorfismo. Uma categoria de Grothendieck não precisa conter nenhum objeto finitamente gerado não nulo. Uma categoria de Grothendieck é chamada de localmente finitamente gerada se possuir um conjunto de geradores finitamente gerados (ou seja, se existir uma família

(

G

i

)

i ∈ I

{\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}

de objetos finitamente gerados tal que para todo objeto

X

{\displaystyle X}

exista

i ∈ I

{\displaystyle i\in I}

e um morfismo não nulo

G

i

→ X

{\displaystyle G_{i}\rightarrow X}

; de forma equivalente:

X

{\displaystyle X}

é a imagem epimórfica de uma soma direta de cópias dos

G

i

{\displaystyle G_{i}}

). Em tal categoria, todo objeto é a soma de seus subobjetos finitamente gerados. Toda categoria

A

= Mod ⁡ ( R )

{\displaystyle {\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)}

é localmente finitamente gerada. Um objeto

X

{\displaystyle X}

em uma categoria de Grothendieck é chamado de finitamente apresentado se for finitamente gerado e se todo epimorfismo

W → X

{\displaystyle W\to X}

com domínio

W

{\displaystyle W}

finitamente gerado tiver um núcleo finitamente gerado. Novamente, isso generaliza a noção de módulos finitamente apresentados. Se

U ⊆ X

{\displaystyle U\subseteq X}

e tanto

U

{\displaystyle U}

quanto

X

/

U

{\displaystyle X/U}

forem finitamente apresentados, então

X

{\displaystyle X}

também será. Em uma categoria de Grothendieck localmente finitamente gerada

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

, os objetos finitamente apresentados podem ser caracterizados da seguinte forma:

X

{\displaystyle X}

em

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

é finitamente apresentado se, e somente se, para todo sistema direcionado

(

A

i

)

{\displaystyle (A_{i})}

em

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

, o morfismo natural

lim →

⁡

H o m

( X ,

A

i

) →

H o m

( X ,

lim →

⁡

A

i

)

{\displaystyle \varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})}

for um isomorfismo. Uma categoria de Grothendieck é localmente finitamente apresentada se possuir um conjunto de geradores finitamente apresentados, o que equivale a dizer que todo objeto é um limite direto de objetos finitamente apresentados. Um objeto

X

{\displaystyle X}

em uma categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

é chamado de coerente se for finitamente apresentado e se cada um de seus subobjetos finitamente gerados também for finitamente apresentado. (Isso generaliza a noção de feixes coerentes sobre um espaço anelado.) A subcategoria cheia de todos os objetos coerentes em

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

é abeliana e o functor de inclusão é exato. Um objeto

X

{\displaystyle X}

em uma categoria de Grothendieck é chamado de Noetheriano se o conjunto de seus subobjetos satisfizer a condição de cadeia ascendente, ou seja, se toda sequência

X

1

⊆

X

2

⊆ ⋯

{\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2}\subseteq \cdots }

de subobjetos de

X

{\displaystyle X}

eventualmente se tornar estacionária. Este é o caso se, e somente se, todo subobjeto de

X

{\displaystyle X}

for finitamente gerado. (No caso

A

= Mod ⁡ ( R )

{\displaystyle {\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)}

, essa noção é equivalente à noção familiar de módulos noetherianos.) Uma categoria de Grothendieck é chamada de localmente noetheriana se possuir um conjunto de geradores noetherianos; um exemplo é a categoria de módulos à esquerda sobre um anel noetheriano à esquerda. Uma categoria de Grothendieck é chamada de espectral se toda sequência exata curta cinde. Para uma dada categoria de Grothendieck

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

, pode-se definir uma categoria de Grothendieck espectral

Spec ⁡

A

{\displaystyle \operatorname {Spec} {\cal {A}}}

e um functor canônico

P :

A

→ Spec ⁡

A

{\displaystyle P:{\cal {A}}\to \operatorname {Spec} {\cal {A}}}

. Os objetos de

Spec ⁡

A

{\displaystyle \operatorname {Spec} {\cal {A}}}

correspondem, a menos de isomorfismo, aos objetos injetivos de

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

. O functor

P

{\displaystyle P}

transforma todos os monomorfismos essenciais em isomorfismos e, assim, identifica cada objeto de

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

com seu envoltório injetivo. Isso permite definir funções úteis semelhantes a dimensões em

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

: para cada objeto injetivo indecomponível

I

{\displaystyle I}

em

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

e cada objeto

A

{\displaystyle A}

em

A

{\displaystyle {\cal {A}}}

, o número cardinal

r

I

( A )

{\displaystyle r_{I}(A)}

mede, a grosso modo, quantos somandos diretos isomorfos a

I

{\displaystyle I}

aparecem no envoltório injetivo de

A

{\displaystyle A}

.

Referências

Bibliografia Popescu, Nicolae (1973). Abelian categories with applications to rings and modules. [S.l.]: Academic Press Stenström, Bo T. (1975). Rings of Quotients: An Introduction to Methods of Ring Theory (em inglês). [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07117-6

Ligações externas Abelian Categories, notas de Daniel Murfet. A Seção 2.3 aborda categorias de Grothendieck. The Stacks Project Authors, The Stacks Project Tsalenko, M.Sh. (2001), «Grothendieck category», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer